ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ

6 клас

1. Що більше 15% від числа 240, чи число, 75% якого дорівнює 27?

(15 б.)

2. Учень прочитав книгу за три дні. В перший день він прочитав 0,2 всієї книги і ще 16 сторінок, на другий день 0,3 залишку і ще 20 сторінок. В третій день 0,75 залишку і останні 30 сторінок книги. Скільки сторінок було в книзі?

(15 б.)

3. Хлопчик і дівчинка виміряли кроками відстань 143 м, 20 разів їхні кроки збігалися. Крок хлопчика 65 см. Чому дорівнює довжина кроку дівчинки?

(20 б.)

4. Щоб пронумерувати сторінки великої наукової роботи, знадобилось 3389 цифр. Скільки сторінок у роботі?

(20 б.)

5. У шестицифровому числі перша цифра співпадає з четвертою, друга з п’ятою, третя – з шостою. Доведіть, що це число кратно 7,11,13.

(30 б.)

7 клас

1. Влітку ціну на лижі знизили на 10%, а взимку підняли на 10%. Порівняти ціну на лижі цією зимою та минулою (у відсотках)?

(15 б.)

2. Кожний з трьох гравців записує сто слів, після цього записи порівнюються. Якщо слово зустрічається хоча б у двох, то його викреслюють зі всіх списків. Чи можлива ситуація, що у першого гравця залишилося 54 слова, у другого 75 слів, а у третього 80 слів?

(15 б.)

3. Розмістити 6 точок на чотирьох прямих так, щоб на кожній з них було по три точки.

(20 б.)

4. Знайти всі трійки простих чисел a, b, c  таких що 7а – bc = 105.

(20 б.)

5. Шестицифрове число ділиться на 8. Яку найменшу суму цифр воно може мати? Яку найбільшу суму цифр може мати таке число?

(30 б.)

8 клас

1. Через п’ять років вік брата буде відноситись до віку сестри як 8:7. Скільки років кожному з них зараз, якщо рік тому брат був вдвічі старший від сестри?

(15 б.)

2. Довести, що коли a² + b² + c² = ab + bc + ac,  де a, b, c – дійсні числа, то a = b = c.

(15 б.)

3. Точка P - середина висоти, яка проведена до основи BC рівнобедреного трикутника  ABC. Пряма  BP перетинає бічну сторону  AC у точці  M. Доведіть, що  CM=2AM.

(20  б.)

4. На дошці записано число 12345678910111213…., яка цифра буде стояти на 2009 місці.

(20  б.)

5. Доведіть, що серед будь-яких ста цілих чисел, можна вибрати кілька (можливо, одне) різниця яких ділиться на 100.

(30  б.)

9 клас

1. Обчислити значення виразу.

                                                                                                (15 б.)

2. При яких цілих значеннях a рівняння x(a-1)²=(a+4)(a-1) має цілі розв’язки?

                                                                                                (15 б.)

3. Розкладіть на множники x⁵+x+1.  

                                                                                                    (20 б.)

4. У рівнобедреному трикутнику АВС (АС=ВС) провели медіану СС₁ і бісектрису АА₁. Знайдіть  кут АСВ, якщо АА₁ = 2СС₁ .

                                                                                                (20 б.)

5. В кожній клітині дошки 5×5 сидить жук. В деякий момент всі жуки переповзають на сусідні клітини (сусідніми вважаються ті, що мають спільну сторону). Доведіть, що після того як всі жуки переповзуть, знайдеться клітина, на якій сидітимуть принаймні два жуки.

                                                                                                (30 б.)